2. Verosimilitud y distribución posterior
Construye un modelo generativo sencillo y obtiene una posterior beta-binomial.
Al terminar esta lección podrás
- Separar verosimilitud, previa y posterior
- Actualizar una distribución beta con datos binomiales
- Interpretar la media posterior frente a la proporción observada
Conceptos clave
Un modelo para datos binarios
Si hay n ensayos independientes con probabilidad común θ de éxito, Y | θ ~ Binomial(n, θ). Al observar y éxitos, la verosimilitud como función de θ es proporcional a θ^y(1 - θ)^(n - y).
Una previa Beta(α, β), con parámetros positivos, asigna plausibilidad a valores de θ entre 0 y 1. La densidad posterior es proporcional al producto de verosimilitud y previa; luego se normaliza para que integre uno.
Conjugación beta-binomial
Si θ ~ Beta(α, β), entonces θ | y ~ Beta(α + y, β + n - y). La posterior pertenece a la misma familia que la previa, lo que permite verificar el cálculo sin simulación.
La media posterior es (α + y) / (α + β + n). Es un resumen puntual: para comunicar incertidumbre también se requieren intervalos o probabilidades posteriores relevantes.
Cómo leer los ejemplos de actualización
En cada caso, escribe por separado la previa, la verosimilitud y su producto. Solo después normaliza el producto para identificar la distribución posterior.
En el modelo beta-binomial, la actualización suma éxitos al primer parámetro beta y fracasos al segundo. La máxima verosimilitud usa la misma información de los datos, pero no incorpora una previa.
Para practicar: Escoge un ejemplo binomial de los PDF. Calcula primero y/n y luego la media posterior bajo la previa indicada; explica por qué pueden diferir.
Material complementario
6 documento(s) PDF relacionados con este tema.
Ejemplo resuelto
Con θ ~ Beta(2, 2), se observan 8 éxitos en 10 ensayos. Obtén la posterior y su media.
- La verosimilitud es proporcional a θ^8(1 - θ)^2.
- La posterior es Beta(2 + 8, 2 + 2) = Beta(10, 4).
- Su media es 10 / 14 ≈ 0,714, mientras la proporción observada es 8 / 10 = 0,8.
Conclusión: La posterior combina los diez ensayos con la previa y conserva incertidumbre sobre θ; su media no tiene que coincidir con la proporción muestral.
Ponlo en práctica
- Con θ ~ Beta(1, 1), observa 3 éxitos en 5 ensayos. Encuentra posterior y media.
- Con θ ~ Beta(3, 7), observa 6 éxitos en 10 ensayos. ¿Cuál es la posterior y por qué su media queda bajo 0,6?
Consultar guía de respuestas
- Beta(4, 3), con media 4 / 7 ≈ 0,571.
- Beta(9, 11), con media 9 / 20 = 0,45. La previa concentraba más masa en valores bajos de θ; conviene evaluar si se justifica para este problema.